Ackermann's Function

The Ackermann function tex:$$ A(m,n) $$ is an extremely fast-growing function where

tex:$$ A(0,0) = 1 $$
tex:$$ A(1,1) = 3 $$
tex:$$ A(2,2) = 7 $$
tex:$$ A(3,3) = 61 $$
tex:$$ A(4,4) = = 2^{2^{2^{2^{2^2²}}}} − 3 = 2^{2^{2003529930406846464979072351560255750447825475569751419265016973710894059556311453089506130880933348101038234342907263181822949382118812668869506364761547029165041871916351587966347219442930927982084309104855990570159318959639524863372367203002916969592156108764948889254090805911457037675208500206671563702366126359747144807111774815880914135742720967190151836282560618091458852699826141425030123391108273603843767876449043205960379124490905707560314035076162562476031863793126484703743782954975613770981604614413308692118102485959152380195331030292162800160568670105651646750568038741529463842244845292537361442533614373729088303794601274724958414864915930647252015155693922628180691650796381064132275307267143998158508811292628901134237782705567421080070065283963322155077831214288551675554073345107213112427399562982719769150054883905223804357045848197956393157853510018992000024141963706813559840464039472194016069517690156119726982337890017641517190051133466306898140219383481435426387306539552 9696913880241581618595611006403621197961018595348027871672001226046424923851113934004643516238675670787452594646709038865477434832178970127644555294090920219595857516229733335761595523948852975799540284719435299135437637059869289137571537400019863943324648900525431066296691652434191746913896324765602894151997754777031380647813423095961909606545913008901888875880847336259560654448885014473357060588170901621084997145295683440619796905654698136311620535793697914032363284962330464210661362002201757878518574091620504897117818204001872829399434461862243280098373237649318147898481194527130074402207656809103762039992034920239066262644919091679854615157788390603977207592793788522412943010174580868622633692847258514030396155585643303854506886522131148136384083847782637904596071868767285097634712719888906804782432303947186505256609781507298611414303058169279249714091610594171853522758875044775922183011587807019755357222414000195481020056617735897814995323252085897534635470077866904064290167638081 6174055040511767009367320280454933902799249186730653993164072049223847481528061916690093380573212081635070763435166986962502096902316285935007187419057916124153689751480826190484794657173660100589247665544584083833479054414481768425532720731558634934760513741977952519036503219802010876473836868253102518337753390886142618480037400808223810407646887847164755294532694766170042446106331123802113458869453220011656407632702307429242605158281107038701834532456763562595143003203743274078087905628366340696503084422585596703927186946115851379338647569974856867007982396060439347885086164926030494506174341236582835214480672667684180708375486221140823657980296120002744132443843240233125740354501935242877643088023285085588608996277445816468085787511580701474376386797695504999164399828435729041537814343884730348426190338884149403136613985425763557710533558020662218557706008255128889333222643628198483861323957067619140963853383237434375883085923372228464428799624560547693242899843265267737837317328806 3210753211238680604674708428051166488709084770291208161104912555598322366244868556651402684641209694982590565519216188104341226838996283071654868525536914850299539675503954938371853405900096187489473992880432496373165753803673586710175783994818471798498246948060532081996066183434012476096639519778021441199752546704080608499344178256285092726523709898651539462193004607364507926212975917698293892367015170992091531567814439791248475706237804600009918293321306880570046591458387208088016887445835557926258465124763087148566313528934166117490617526671492672176128330845273936469244582892571388877839056300482483799839692029222215486145902373478222682521639957440801727144146179559226175083889020074169926238300282286249284182671243405751424188569994272331606998712986882771820617214453142574944015066139463169197629181506579745526236191224848063890033669074365989226349564114665503062965960199720636202603521917776740668777463549375318899587866282125469797102065747232721372918144666659421872003474508 9428309115351892711142871083761592223802766053278233516615551493693757784666701457179719012271178127804502400263847587883393968179629506907988171216906869295382485298300234760684541141781391106485602365497542274972310076151318700240539105109138178437217914225285874320985249578780346837033378184214440171386881242499844186181292711985333153825673218704215306311977485352146709553346263366108646673322924098798492566911095161436186015489097402419135096230436121961281659505186660220307156136847323646608689050142639139065150639081993788523183650598972991254044794434251667742996598118492331515552728832740283526884424087528112832899806259126736995462473415433335001472314306127503903073971352520693381738433229507010490618675394331307847980156551303847581556852362180104196502555961819349863159132330360964619059902361126811960234418433633345949276319461017166529138237171823942992162725384617760656945422978770713831988170369645886898118632109769003557358846244648357062914530527571012788720279653644 7972402540544813274839179412882642383517194919720979714593688753719872913083173803391101612854741537737771595172808411162759718638492422280237344192546999198367219213128703558530796694271341639103388275431861364349010094319740904733101447629986172542442335561223743571582593338280498624389249822278071595176275784710947511903348224141202518268871372819310425347819612844017647953150505711072297431456991522345164312184865757578652819756484350895838472292353455946452121583165775147129870822590929265563883665112068194383690411625266871004456024370420066370900194118555716047204464369693285006004692814050711906926139399390273553454556747031490388602202463994826050176243196930564066636662609020704888743889890749815286544438186291738290105182086993638266186830391527326458128678280660133750009659336462514609172318031293034787742123467911845479131110989779464821692250562939995679348380169915743970053754213448587458685604728675106542334189383909911058646559511364606105515683854121745980180713316361 2573079611168343863767667307354583494789788316330129240800836356825939157113130978030516441716682518346573675934198084958947940983292500086389778563494693212473426103062713745077286156922596628573857905533240641849018451328284632709269753830867308409142247659474439973348130810986399417379789657010687026734161967196591599588537834822988270125605842365589539690306474965584147981310997157542043256395776070485100881578291408250777738559790129129407309462785944505859412273194812753225152324801503466519048228961406646890305102510916237770448486230229488966711380555607956620732449373374027836767300203011615227008921843515652121379215748206859356920790214502277133099987729459596952817044582181956080965811702798062669891205061560742325686842271306295009864421853470810407128917646906550836129916694778023822502789667843489199409657361704586786242554006942516693979292624714524945408858422726153755260071904336329196375777502176005195800693847635789586878489536872122898557806826518192703632099480155 8744555751753127364714212955364940843855866152080121150790750685533444892586932838596530132720469706945715469593536585717888948623332924652027358531885333709484554033365653569881725825289180566354883637437933484118455801683318276768346462919956055134700391478768086403226296166415606675081537106467231084619642475374905537448053182260027102164009805844975260230356400380834720531499411729657367850664214008426964971032419191821212132069397691439233683747092282677387081322366800869247034915868409911530983154120635661231875043054675369832308279664574176208065931772656858416818379661061449634325441117069417002226578173583512598210807691019610522292638797450490192543119006205619065774524161919131875339840493439768233102984658933183730158095925228292068208622303325852801192664963144413164427730032377922747123306964171499455322610354751456312906688543454268697884477429817774937101176146516241836166802548152963353084908499430067636548061029400946937506098455885580439704859144495844450799784970455 8355068540874516331646411808312307970438984919050658758642581073842242059119194167418249045270028826398305795005734171148703118714283418449915345670291528010448514517605530697144176136858238410278765932466268997841831962031226242117739147720800488357833356920453393595325456489702855858973550575123512953654050284208102278524877660357424636667314868027948605244578267362623085297826505711462484659591421027812278894144816399497388188462276824485162205181707672216986326570165431691974265123004175732990447353767253684579275436541282655358185804684006936771860502007054724754840080553042495185449526724726134731817474218007857469346544713603697588411802940803961674694628854067917213860122541950381970453841726800639882065632879283958270851091995883944829777564715202613287108952616341770715164289948795356485455355314875497813400996485449863582484769059003311696130376612792346432312970662841130742704620203201336835038542536031363676357521260470742531120923340283748294945310472741896928727557202761 5272268283376741393425652653283068469997597097750005560889932685025049212884068274139881631540456490350775871680074055685724021758685439053228133770707415830756269628316955687424060527726485853050611356384851965918968649596335568216975437621430778665934730450164822432964891270709898076676625671517269062058815549666382573829274182082278960684488222983394816670984039024283514306813767253460126007269262969468672750794346190439996618979611928750519442356402644303271737341591281496056168353988188569484045342311424613559925272330064881627466723523751234311893442118885085079358163848994487544756331689213869675574302737953785262542329024881047181939037220666894702204258836895840939998453560948869946833852579675161882159410981624918741813364726965123980677561947912557957446471427868624053750576104204267149366084980238274680575982591331006919941904651906531171908926077949119217946407355129633864523035673345588033313197080365457184791550432654899559705862888286866606618021882248602144999973122164 1381706534801755104384066244128228036166489042573776409563264828252584076690456084394903252905263375323165090876813366142423983095308065496618793819491200339194894940651323988166420800883955549422370967348400726427057011650890751961553701862647974563811878561754571134004738107627630149533097351741806554791126609380343113785325328835333520249343659791293412848549709468263290758301930726653377825593143311109638480539408592839889077962104798479196868765399874770959127887274758744398067798249682782722009264499445593804146087706419418104407582698056880389496546165879839046605876453418102899071942930217745199761044950431968415034555140448209289333786573630528306199900777487269229986082790531716918765788609089418170579934048902184415597910926768627965975839524839267348836347456516870161662406424242412289611180106156823425393921800524834547237792199112285959141918774917938233400100781283265067102817813960291209147201009478787525512633728842223538694900679276645116347581011938753196572421214760 3828477477457170457861041738574791130190858387789015233434301300528279703858035981518292960030568261209195094373732545417105638388704752895056396102984364136093564163258940813798151169333861979733982167076100460798009601602482309694304380695662012321365014054958625061528258803302290838581247846931572032323360189946943764772672187937682643182838260356452069946863021604887452842436359355862233350623594500289055858161127534178375045593612613085264082805121387317749020024955273873458595640516083058305377073253397155262044470542957353836111367752316997274029294167420442324811387507563131907827218886405337469421384216992886294047963530515056078812636620649723125757901959887304119562622734372890051656111109411174527796548279047125058199907749806382155937688554649882293898540829132512907647838632249478101675349169348928810420301561028338614382737816094634133538357834076531432141715065587754782025245478065730134227747061674424196895261316427410469547462148375628829977180418678508454696561915090 8695874251184435837306590951460980451247409411373899927822492983367796011015387096129749705566301637307202750734759922943792393824427421186158236161317886392553095117188421298508307238259729144142251579403883011359083331651858234967221259621812507058113759495525022747274674369887131926670769299199084467161228738858457584622726573330753735572823951616964175198675012681745429323738294143824814377139861906716657572945807804820559511881687188075212971832636442155336787751274766940790117057509819575084563565217389544179875074523854455200133572033332379895074393905312918212255259833790909463630202185353848854825062897715616963860712382771725621313460549401770413581731931763370136332252819127547191443450920711848838366818174263342949611870091503049165339464763717766439120798347494627397822171502090670190302469762151278521956142070806461631373236517853976292092025500288962012970141379640038055734949269073535145961208674796547733692958773628635660143767964038430796864138563447801328261284589184 8985280480488441808216394239740143629034816654581144543664600324906187630395023564020445307482102413668951966442213392007574791286838051751506346625693919377402835120756662608298904918772878338521785227920457718469658552787904475621926639920084093020756739253637356283908298175779021532021064096173732835984940666521411981838108845154597728951645721318977979074919410131483685446396169046070301075968189337412175759881651270007612627891695104063158576375347874200702220510708912576123616580268068158584998526314658780866168007332646768302063916972030648944056281954061906852420030534631566218913273090696873531816410945142880366059952202482488867115544291047219291342483464387053685086487490991788126705656653871910497218200423714927401644609434598453925367061322106165330856620211889682340057526754861014769936887382095845522115719234796868881608536316158628801503959494185294892270744108282071693033878180849362040182552222710109856534448172074707560192459155994310729495781978785905789400525401228 6751714251118435643718405356302418122547326609330271039796809106493927272268303541046763259135527968383770501985523462122285841055711992173171796980433931770775075562705604783177984444763756025463703336924711422081551997369137197516324130274871219986340454824852457011855334267526471597831073124566342980522145549415625272402891533335434934121786203700726031527987077187249123449447714790952073476138542548531155277330103034247683586549609372232400715451812973269208105842409055772564580368146223449318970813889714329983134761779967971245378231070373915147387869211918756670031932128189680332269659445928621060743882741691946516226763254066507088107103039417886056489376981673415902592519461182364294565266937220315550470021359884629275801252771542201662995486313032491231102962792372389976641680349714122652793190763632613681414551637665655983978848938173308266877990196288693229659737995193162118721545528739417024366988559388879331674453336311954151840408828381519342123412282003095031334105070476 0159987985472529190665222479319715440331794836837373220821885773341623856441380700541913530245943913502554531886454796252260251762928374330465102361057583514550739443339610216229675461415781127197001738611494279501411253280621254775810512972088465263158094806633687670147310733540717710876615935856814098212967730759197382973441445256688770855324570888958320993823432102718224114763732791357568615421252849657903335093152776925505845644010552192644505312073756287744998163646332835816140330175813967359427327690448920361880386754955751806890058532927201493923500525845146706982628548257883267398735220457228239290207144822219885587102896991935873074277815159757620764023951243860202032596596250212578349957710085626386118233813318509014686577064010676278617583772772895892746039403930337271873850536912957126715066896688493880885142943609962012966759079225082275313812849851526902931700263136328942095797577959327635531162066753488651317323872438748063513314512644889967589828812925480076425186586490 2411111273013571971813816025831785069322440079986566353715440884548663931817083957357807990597308390948818040609359591909074739609044101505163217496814121007657191774837673557510007336169223865374290794578032000423374528075661530429290144957806296341383835517835997647088513490048569736979652386958459945955920907090589568914511414126845054621179450266117501669282602509507707782119504326173832235624376017767993627960993689751913949650333585071554184364568526166742436889203710374953284259271316105378349807407391586338179676584252580367372064693512486522384813416638080615057048290598906964519364400185971204257230073164100099169875242603773621777634306216167448849308109299010095179745415642512048220867145868492551324442667771278637282113315362243010918243912433802140462422233491535595168908162884879899882736304453724321742802157557779670216663170479697281724833928410156422745072717792693999297403080727703950135815451424940490265361058254093731146531049433824843797186069372144446008267980024 7122948940576185389220342560830269705287662137737359439422411470707407290272546130735854174569141944648762435768239706570318416846754073346634629367398362000404140071405427763248013274220268539369886978760700959004868465062677136307097982100655728510130660101078063374334477307347865388174268123074376606664331277535646657860371519292276844045827328324380821284121877613204246046490080105473142674926082692215563740548624171703102791999694264562095561981645454766204502241144940474934983220680719135276798674781345820385957041346617793722853494003163159954409368408957253343870298671782977037333280680176463950209002394193149911500910527682111951099906316615031158558283558260717941005252858361136996130344279017381178741206128818206202326384986151565645123004779296756361834576810504334176954306753804111392855379252924134733948105053202570872818630729115891133594201476187266429156403637192760230628384065042544174233546454998705531872688792642410214736369862546374715974435494344389973005174252511 0877357886390946812096673428152585919924857640488055071329814299359911463239919113959926752576359007446572810191805841807342227734721397723218231771716916400108826112549093361186780575722391018186168549108500885272274374212086524852372456248697662245384819298671129452945515497030585919307198497105414181636968976131126744027009648667545934567059936995464500558921628047976365686133316563907395703272034389175415267500915011198856872708848195531676931681272892143031376818016445477367518353497857924276463354162433601125960252109501612264110346083465648235597934274056868849224458745493776752120324703803035491157544831295275891939893680876327685438769557694881422844311998595700727521393176837831770339130423060958999137314684569010422095161967070506420256733873446115655276175992727151877660010238944760539789516945708802728736225121076224091810066700883474737605156285533943565843756271241244457651663064085939507947550920463932245202535463634444791755661725962187199279186575490857852950012840229 035061514937310107009446151011613712423761426722541732055959202782129325725947146417224977321316381845326555279604270541871496236585252458648933254145062642337885651464670604298564781968461593663288954299780722542264790400616019751975007460545150060291806638271497016110987951336633771378434416194053121445291855180136575558667615019373029691932076120009255065081583275508499340768797252369987023567931026804136745718956641431852679054717169962990363015545645090044802789055701968328313630718997699153166679208958768572290600915472919636381673596673959975710326015571920237348580521128117458610065152598883843114511894880552129145775699146577530041384717124577965048175856395072895337539755822087777506072339445587895905719156736}} − 3.

The inverse of tex:$$ A(n,n) $$ is denoted as $tex:$$ \alpha(n) $$$ and therefore it is reasonable to state that $tex:$$ |\alpha(n)| < 4 $$$ for any reasonable values of n.

In comparison with the number above, the weight of the universe is estimated at somewhere between 2¹⁶⁶ and 2²⁰⁰ kg. From this, one could infer that there is sufficient mass for anywhere between 2²⁵⁵ and 2²⁸⁸ ≈ 600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 or 600 septenvigintillion protons.

In comparison again, if the half life of a proton is 10³⁶ years, this would suggest the universe should be gone anywhere between 255 × 10³⁶ to 288 × 10³⁶ years from now or no more than 2¹²⁸ years = 2^2⁷ years.